"necessary and sufficient" શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે જો અને માત્ર જો $n^{2}$ એકી હોય" વિધાનને ફરીથી લખો. આ વિધાન સત્ય છે કે કેમ તે પણ તપાસો.

(N/A) "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે જો અને માત્ર જો $n^{2}$ એકી હોય" વિધાનને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે તે શરત $n^{2}$ એકી હોવા માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે."
ધારો કે $p$ વિધાન છે: "પૂર્ણાંક $n$ એકી છે."
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "$n^{2}$ એકી છે."
$p \iff q$ ની સત્યતા તપાસવા માટે,આપણે બંને ગર્ભિતાર્થો તપાસીએ છીએ:
$1$. જો $p$ સત્ય હોય,તો $n = 2k + 1$ (કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે). તો $n^{2} = (2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$,જે એકી છે. આમ,$p \implies q$ સત્ય છે.
$2$. જો $q$ સત્ય હોય,તો આપણે પ્રતિ-ધન વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ: જો $n$ બેકી હોય,તો $n = 2k$. તો $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})$,જે બેકી છે. પ્રતિ-ધન વિધાન સત્ય હોવાથી,$q \implies p$ સત્ય છે.
બંને $p \implies q$ અને $q \implies p$ સત્ય હોવાથી,મૂળ વિધાન સત્ય છે.